信息级联 Information cascade

这个模型比较什么？

每个人都想判断真实颜色，也都有一条私人信号。依次判断时，后人还会观察前人的选择；独立判断时，每个人只按自己的信号表态。两种规则使用同一批私人信号，最后都通过多数票形成群体结论。需要区分的是：个体是否合理地使用了可得信息，与群体是否充分利用了所有人的信息。

课堂上怎样演示？

1. 选择“错误级联示例”，连续点三次“下一位”。前两人都收到蓝信号；第三人收到红信号，却仍选择蓝。
2. 继续推进：即使后面有许多红信号，它们也不再通过公开选择传递。点“揭晓真实答案”，比较两种规则对同一批信号的判断。
3. 切换“较晚发生的级联”，观察前两人意见不同时会怎样。级联并非固定从第三人开始。
4. 点击“比较 5000 轮”，观察两种规则的总体表现。单轮示例用于说明机制，多轮统计用于比较当前参数下的结果。

一、每个人掌握什么信息？

真实状态记为 θ，取红（R）或蓝（B），先验概率各为 1/2。第 i 人的私人信号记为 s_i，公开选择记为 a_i。给定真实状态，所有人的信号相互独立，准确率相同，记为 q（本页取 0.55 至 0.95）。因此，真实为红时收到红信号的概率为 q，真实为蓝时收到红信号的概率为 1 − q；蓝信号的情形对称。

第 i 人看到的公共历史是 H_i−1 = (a₁, …, a_i−1)，其中只有前人的选择，没有前人的私人信号。卡片上的信号供课堂观众观察，并不意味着模型中的后人也看得到它们。所有人知道模型规则，并认为其他人也按同一规则行动。

二、收到私人信号后，怎样更新判断？

先根据公共历史形成“真实为红”的概率 π_i = P(θ = R | H_i−1)，再用自己的信号更新为 p_i。记 ℓ_R(s) = P(s | θ = R)，ℓ_B(s) = P(s | θ = B)，贝叶斯公式为：

分子是“真实为红且出现这个信号”的条件概率；分母把真实为红、真实为蓝这两种可能都算进去，用来归一化。收到红信号时，ℓ_R = q、ℓ_B = 1 − q；收到蓝信号时，两者交换。

用赔率表示会更直观。令 λ = q / (1 − q) > 1，公共赔率 O_i⁻ = π_i / (1 − π_i)；红信号记为 σ_i = +1，蓝信号记为 σ_i = −1。收到信号后，赔率更新为：

也就是说，红信号把“红相对蓝”的赔率乘以 λ，蓝信号则除以 λ。若 p_i > 1/2，选择红；若 p_i < 1/2，选择蓝；若恰好等于 1/2，采用自己的私人信号。这一平局约定也是后面推导级联阈值的条件。

三、后人怎样理解前人的选择？

第 i + 1 人看不到 s_i，不能直接继承第 i 人结合私人信号后的概率 p_i，而要考察：在两种真实状态下，第 i 人作出这个公开选择的可能性分别有多大。

级联前，按照本页的平局约定，一个人的选择与其私人信号一致，因此公开选择能揭示一条新信号：选择红使公共赔率乘以 λ，选择蓝使其除以 λ。级联后，无论信号是红还是蓝，这个人都作出同一个选择；这时该选择在两种真实状态下的条件概率都是 1，似然比为 1，公共赔率保持不变。

四、卡片中的“有效证据差”怎样计算？

令 D_i 为第 i 人入场前，通过公开选择实际揭示的红信号数减去蓝信号数。第一人入场时 D₁ = 0。由于先验赔率为 1，有：

因此，模型可以比较 D_i + σ_i 的正负来选择颜色。若 |D_i| < 2，选择仍能揭示私人信号，公共证据随之增加或减少 1；若 |D_i| ≥ 2，私人信号即使相反，也不足以改变选择，级联已经形成。

D_i 与前人选择的红蓝数量差是两个不同的量。级联之后，表面上的多数可以继续扩大，实际新增的公共证据却是零。即使某人的选择恰好与私人信号同色，也不能据此认为他的选择仍依赖该信号；要看信号改成另一种颜色时，他会不会改变选择。

五、一个数值例子：前两人都选择红

取 q = 0.75，则 λ = 3。第一人收到红信号，后验为 3 / (1 + 3) = 0.75，于是选红；第二人若也收到红信号，后验为 9 / (1 + 9) = 0.90，于是也选红。

第三人面对的公共赔率为 9。如果收到蓝信号，赔率变为 9 ÷ 3 = 3，后验仍为 0.75，选择红；如果收到红信号，赔率变为 9 × 3 = 27，后验为 27 / 28 ≈ 0.964，也选择红。两种信号对应的后验不同，但公开选择相同：第 3 人已处于级联中。

第四人知道第 3 人无论收到什么信号都会选红，所以不能再把这个“红”计为一条红信号。第四人的公共赔率仍是 9，而不是 27。后面的人按同样规则更新。在信号准确率相同、没有额外公开信息等本页条件下，级联会持续；若前两人的选择相反，公共证据差回到 0，后人仍会依据自己的信号，级联也就不必从第三人开始。

统计口径与适用范围

两种规则都用多数票产生最终结论；平票时以同一个公平随机数决胜。配对统计显示独立判断与依次判断的正确率差及近似 95% 置信区间。结果仅描述这个简化模型，不直接回答现实中的道德责任归属。

理论来源：Bikhchandani, Hirshleifer & Welch (1992), Journal of Political Economy, 100(5), 992–1026；实验研究：Anderson & Holt (1997), American Economic Review, 87(5), 847–862。本页采用后验相等时依私人信号的课堂版本。